Dhaka Board HM CQ-2025

ক বিভাগ—বীজগণিত

১। (i) $\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">p</span>}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">–</span>\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">1</span>}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">=</span>{\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">log</span>}}_{\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">a</span>}}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">bc</span>}$, $\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">q</span>}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">–</span>\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">1</span>}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">=</span>{\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">log</span>}}_{\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">b</span>}}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">ca</span>}$, $\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">r</span>}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">–</span>\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">1</span>}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">=</span>{\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">log</span>}}_{\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">c</span>}}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">ab</span>}$, 
(ii) $y=\frac{\sqrt{5–x}}{\sqrt{5+x}}$

ক. ${\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">y</span>}}^{\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">y</span>}\sqrt{\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">y</span>}}}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">=</span>{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">(</span>\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">y</span>}\sqrt{\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">y</span>}}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">)</span>}^{\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">y</span>}}$ হলে, y এর মান নির্ণয় কর।

খ. প্রমাণ কর যে, $\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">pq</span>}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">+</span>\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">qr</span>}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">+</span>\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">rp</span>}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">–</span>\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">pqr</span>}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">=</span>\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">0</span>}$ ।

গ. $\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">g</span>}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">(</span>\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">x</span>}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">)</span><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">=</span>\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">ln</span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">y</span>}$ হলে, $\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">g</span>}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">(</span>\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">x</span>}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">)</span>$ এর রেঞ্জ নির্ণয় কর।

২। একটি ধারার n-তম পদ ${\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">U</span>}}_{\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">n</span>}}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">=</span>{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">(</span>\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">2</span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">p</span>}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">+</span>\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">1</span>}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">)</span>}^{\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">n</span>}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">–</span>\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">2</span>}}$ যেখানে $\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">n</span>}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">\in </span>\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">N</span>}$ এবং $\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">A</span>}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">=</span>{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">(</span>{\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">x</span>}}^{\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">2</span>}}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">+</span>\frac{\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">k</span>}}{\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">x</span>}}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">)</span>}^{\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">8</span>}}$ একটি দ্বিপদী রাশি।

ক. প্যাসকেলের ত্রিভুজের সাহায্যে ${<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">(</span>\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">1</span>}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">–</span>\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">3</span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">x</span>}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">)</span>}^{\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">5</span>}}$ কে বিস্তৃত কর।

খ. p এর উপর কী শর্ত আরোপ করলে ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে এবং সেই সমষ্টি নির্ণয় কর।

গ. A এর বিস্তৃতিতে ${\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">x</span>}}^{\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">4</span>}}$ এর সহগ 43750 হলে, k-এর মান নির্ণয় কর।

৩। $\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">p</span>}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">(</span>\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">x</span>}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">,</span>\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">y</span>}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">,</span>\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">z</span>}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">)</span><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">=</span>{\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">x</span>}}^{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">–</span>\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">3</span>}}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">+</span>{\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">y</span>}}^{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">–</span>\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">3</span>}}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">+</span>{\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">z</span>}}^{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">–</span>\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">3</span>}}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">–</span>\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">3</span>}{\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">x</span>}}^{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">–</span>\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">1</span>}}{\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">y</span>}}^{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">–</span>\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">1</span>}}{\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">z</span>}}^{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">–</span>\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">1</span>}}$ এবং $\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">f</span>}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">(</span>\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">x</span>}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">)</span><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">=</span>{\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">x</span>}}^{\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">3</span>}}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">+</span>{\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">x</span>}}^{\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">2</span>}}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">+</span>\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">4</span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">x</span>}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">+</span>\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">4</span>}$।

ক. $\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">f</span>}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">(</span>\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">x</span>}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">)</span><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">=</span>{\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">x</span>}}^{\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">3</span>}}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">+</span>\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">5</span>}{\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">x</span>}}^{\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">2</span>}}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">+</span>\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">ax</span>}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">+</span>\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">8</span>}$ এর একটি উৎপাদক $<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">(</span>\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">x</span>}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">+</span>\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">2</span>}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">)</span>$ হলে, a এর মান নির্ণয় কর।

খ. $\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">p</span>}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">(</span>\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">x</span>}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">,</span>\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">y</span>}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">,</span>\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">z</span>}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">)</span><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">=</span>\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">0</span>}$ হলে, প্রমাণ কর যে, $\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">xy</span>}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">+</span>\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">yz</span>}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">+</span>\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">zx</span>}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">=</span>\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">0</span>}$ অথবা $\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">x</span>}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">=</span>\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">y</span>}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">=</span>\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">z</span>}$।

গ. $\frac{{\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">x</span>}}^{\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">2</span>}}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">+</span>\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">4</span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">x</span>}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">–</span>\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">7</span>}}{\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">f</span>}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">(</span>\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">x</span>}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">)</span>}$ কে আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশ কর।

খ বিভাগ—জ্যামিতি ও ভেক্টর

৪। $<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">△</span>\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">ABC</span>}$-এ AD, BE ও CF যথাক্রমে BC, CA এবং AB বাহুর উপর মধ্যমা। মধ্যমা তিনটি পরস্পর G বিন্দুতে ছেদ করেছে।

ক. একটি সমবাহু ত্রিভুজের পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ 6 সে.মি. হলে ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

খ. প্রমাণ কর যে, ${\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">AD</span>}}^{\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">2</span>}}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">+</span>{\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">BD</span>}}^{\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">2</span>}}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">=</span>\frac{\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">1</span>}}{\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">2</span>}}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">(</span>{\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">AB</span>}}^{\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">2</span>}}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">+</span>{\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">AC</span>}}^{\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">2</span>}}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">)</span>$।

গ. ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ কর যে, $\stackrel{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">\to </span>}{\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">AD</span>}}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">+</span>\stackrel{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">\to </span>}{\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">BE</span>}}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">+</span>\stackrel{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">\to </span>}{\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">CF</span>}}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">=</span>\underset{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">~</span>}{\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">0</span>}}$।

৫। একটি চতুর্ভুজের চারটি শীর্ষ বিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে $\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">A</span>}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">(</span>\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">0</span>}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">,</span><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">–</span>\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">1</span>}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">)</span><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">,</span>\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">B</span>}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">(</span><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">–</span>\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">2</span>}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">,</span>\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">3</span>}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">)</span><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">,</span>\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">C</span>}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">(</span>\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">6</span>}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">,</span>\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">7</span>}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">)</span>$ এবং $\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">D</span>}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">(</span>\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">8</span>}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">,</span>\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">3</span>}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">)</span>$।

ক. $\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">x</span>}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">–</span>\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">y</span>}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">+</span>\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">2</span>}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">=</span>\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">0</span>}$ রেখাটি x-অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে যে কোণ উৎপন্ন করে, তা নির্ণয় কর।

খ. প্রমাণ কর যে, চতুর্ভুজ ABCD এর ক্ষেত্রফল $<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">△</span>\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">ABC</span>}$ এর ক্ষেত্রফলের দ্বিগুণ।

গ. BC রেখা y-অক্ষকে P বিন্দুতে এবং AD রেখা x-অক্ষকে Q বিন্দুতে ছেদ করলে PQ রেখার ঢাল নির্ণয় কর।

৬। (i) $\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">5</span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">x</span>}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">+</span>\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">y</span>}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">=</span>\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">35</span>}$, (ii) $\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">x</span>}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">–</span>\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">y</span>}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">+</span>\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">5</span>}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">=</span>\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">0</span>}$ দুটি সরলরেখার সমীকরণ।

ক. মূলবিন্দু হতে $<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">(</span>\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">6</span>}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">,</span>\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">k</span>}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">)</span>$ ও $<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">(</span><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">–</span>\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">6</span>}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">,</span>\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">6</span>}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">)</span>$ বিন্দু দুটি সমদূরবর্তী হলে, k এর মান নির্ণয় কর।

খ. (i) নং রেখাটি x-অক্ষ এবং y-অক্ষকে যথাক্রমে A ও B বিন্দুতে ছেদ করলে মূল বিন্দু এবং AB এর মধ্যবিন্দুগামী রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।

গ. (i) ও (ii) নং রেখা x-অক্ষের সাথে যে ত্রিভুজ গঠন করে তার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

গ বিভাগ – ত্রিকোণমিতি ও সম্ভাবনা

৭। $\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">A</span>}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">=</span>\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">sin</span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">\theta </span>}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">–</span>\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">cos</span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">\theta </span>}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">+</span>\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">1</span>}$, $\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">B</span>}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">=</span>\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">sin</span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">\theta </span>}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">+</span>\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">cos</span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">\theta </span>}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">–</span>\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">1</span>}$ এবং $\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">C</span>}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">=</span>\frac{\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">cos</span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">\theta </span>}}{\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">1</span>}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">–</span>\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">sin</span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">\theta </span>}}$

ক. $\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">cosec</span>}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">(</span><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">–</span>\frac{\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">25</span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">\pi </span>}}{\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">6</span>}}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">)</span>$ এর মান নির্ণয় কর।

খ. প্রমাণ কর যে, $\frac{\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">A</span>}}{\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">B</span>}}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">=</span>\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">C</span>}$।

গ. $\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">A</span>}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">=</span>\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">0</span>}$ এবং $\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">0</span>}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">\le </span>\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">\theta </span>}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">\le </span>\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">2</span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">\pi </span>}$ হলে, $\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">\theta </span>}$ এর মান নির্ণয় কর।

৮। (i) $\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">A</span>}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">=</span><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">\{</span>\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">x</span>}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">\in </span>\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">N</span>}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">:</span>\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">6</span>}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;"><</span>\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">x</span>}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">\le </span>\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">36</span>}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">\}</span>$
(ii) একটি নিরপেক্ষ ছক্কা ও দুইটি নিরপেক্ষ মুদ্রা এক সাথে নিক্ষেপ করা হলো।

ক. একটি নিরপেক্ষ ছক্কা একবার নিক্ষেপ করা হলে জোড় সংখ্যা এবং 4 দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা পাওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় কর।

খ. Probability tree অঙ্কন করে ছক্কায় জোড় সংখ্যা এবং মুদ্রায় একই ফলাফল পাওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় কর।

গ. যদি সেট A হতে একটি নম্বর পছন্দ করা হয় তবে দেখাও যে, নম্বরটি জোড় এবং 5 দ্বারা বিভাজ্য হওয়ার সম্ভাবনা, নম্বরটি মৌলিক হওয়ার সম্ভাবনার চেয়ে কম হবে।