Rajshahi Board HM CQ-2025

ক বিভাগ—বীজগণিত

১। $\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">f</span>}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">(</span>\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">x</span>}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">)</span><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">=</span>\frac{\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">x</span>}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">–</span>\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">3</span>}}{\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">2</span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">x</span>}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">–</span>\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">4</span>}}$, $\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">x</span>}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">\ne </span>\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">2</span>}$ এবং $\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">P</span>}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">(</span>\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">x</span>}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">)</span><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">=</span>\frac{\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">3</span>}{\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">x</span>}}^{\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">3</span>}}}{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">(</span>\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">x</span>}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">–</span>\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">2</span>}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">)</span><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">(</span>\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">x</span>}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">–</span>\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">3</span>}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">)</span><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">(</span>\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">x</span>}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">–</span>\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">4</span>}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">)</span>}$

ক. ${\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">x</span>}}^{\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">3</span>}}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">+</span>\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">8</span>}{\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">x</span>}}^{\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">2</span>}}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">+</span>\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">kx</span>}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">+</span>\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">25</span>}$ বহুপদীর একটি উৎপাদক $<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">(</span>\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">x</span>}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">+</span>\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">5</span>}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">)</span>$ হলে $\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">k</span>}$ এর মান নির্ণয় কর।

খ. ${\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">f</span>}}^{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">–</span>\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">1</span>}}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">(</span>\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">x</span>}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">)</span><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">=</span>\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">x</span>}$ হলে $\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">x</span>}$ এর মান নির্ণয় কর।

গ. $\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">P</span>}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">(</span>\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">x</span>}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">)</span>$ কে আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশ কর।

২। (i) ${<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">(</span>\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">3</span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">x</span>}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">+</span>\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">1</span>}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">)</span>}^{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">–</span>\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">1</span>}}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">+</span>{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">(</span>\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">3</span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">x</span>}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">+</span>\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">1</span>}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">)</span>}^{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">–</span>\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">2</span>}}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">+</span>{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">(</span>\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">3</span>}\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">x</span>}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">+</span>\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">1</span>}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">)</span>}^{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">–</span>\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">3</span>}}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">+</span><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">.</span><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">.</span><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">.</span><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">.</span><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">.</span><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">.</span><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">.</span><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">.</span><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">.</span><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">.</span>$
(ii) $A={\left(1+\frac{x}{3}\right)}^n$ একটি দ্বিপদী রাশি।

ক. $\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">x</span>}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">=</span>\frac{\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">1</span>}}{\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">3</span>}}$ হলে (i)নং ধারার সমষ্টি নির্ণয় কর।

খ. $\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">x</span>}$ এর উপর কী শর্ত আরোপ করলে (i)নং ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে এবং সেই সমষ্টি নির্ণয় কর।

গ. $\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">A</span>}$ এর বিস্তৃতিতে ${\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">x</span>}}^{\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">7</span>}}$ ও ${\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">x</span>}}^{\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">8</span>}}$ এর সহগ সমান হলে $\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">n</span>}$ এর মান নির্ণয় কর।

৩। (i) $\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">y</span>}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">=</span>\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">ln</span>}\frac{\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">3</span>}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">–</span>\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">x</span>}}{\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">3</span>}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">+</span>\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">x</span>}}$ এবং (ii) $\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">B</span>}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">=</span>\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">x</span>}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">+</span>\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">y</span>}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">+</span>\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">z</span>}$

$$

ক. সমাধান কর : $\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">5</span>}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">.</span>{\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">125</span>}}^{\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">x</span>}}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">=</span>{\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">25</span>}}^{\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">x</span>}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">+</span>\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">4</span>}}$

খ. যদি $\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">B</span>}<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">=</span>\mathrm{<span\; style="box-sizing:\; border-box;\; border:\; 0px\; solid;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; font-size:\; 18px;">0</span>}$ হয়, তবে (ii)নং থেকে প্রমাণ কর যে, 
$\frac{1}{a^y+a^{–z}+1}+\frac{1}{a^z+a^{–x}+1}+\frac{1}{a^x+a^{–y}+1}=1$

গ. (i)নং ফাংশনের ডোমেন এবং রেঞ্জ নির্ণয় কর।

খ বিভাগ—জ্যামিতি ও ভেক্টর

৪। PQRS চতুর্ভুজটি বৃত্তে অন্তর্লিখিত এবং এর কর্ণদ্বয় PR ও QS পরস্পর T বিন্দুতে ছেদ করে।

ক. একটি সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা 12 সে.মি. হলে এর মধ্যমার দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

খ. প্রমাণ কর যে, $\mathrm{PR}.\mathrm{QS}=\mathrm{PQ}.\mathrm{SR}+\mathrm{PS}.\mathrm{QR}$

গ. যদি $\angle \mathrm{QPR}=\angle \mathrm{SPR}$ হয় এবং PR, QS কে T বিন্দুতে ছেদ করে, তবে প্রমাণ কর যে, ${\mathrm{PT}}^2=\mathrm{PQ}.\mathrm{PS}–\mathrm{QT}.\mathrm{TS}$

$$

৫। $A(–3,4),B(6,4),C(5,–5)$ এবং $D(–4,–5)$ একটি চতুর্ভুজের চারটি শীর্ষবিন্দু।

ক. AC রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।

খ. ABCD চতুর্ভুজের প্রকৃতি নির্ণয় কর।

গ. ABCD চতুর্ভুজের যে অংশ y-অক্ষ হতে বামে অবস্থিত তার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

৬। $△\mathrm{ABC}$ এর BC, AC ও AB বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 4 সে.মি., 5 সে.মি. ও 7 সে.মি.।

ক. $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ ভেক্টরকে $\overrightarrow{\mathrm{AM}}$ ও $\overrightarrow{\mathrm{BN}}$ ভেক্টরের মাধ্যমে প্রকাশ কর।

খ. ভেক্টর পদ্ধতিতে প্রমাণ কর যে, $\overrightarrow{\mathrm{AM}}+\overrightarrow{\mathrm{BN}}+\overrightarrow{\mathrm{CS}}=\underset{~}{0}$

গ. তিনটি মধ্যমাকে বাহু ধরে 6 সে.মি. উচ্চতাবিশিষ্ট একটি সামান্তরিকের ভূমির বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর এবং এর অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত হবে তা নির্ণয় কর।

গ বিভাগ—ত্রিকোণমিতি ও সম্ভাবনা

৭। $A=\sin \theta ,B=\cos \theta$

ক. একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত $3:5:4$ হলে ত্রিভুজের বৃহত্তম কোণটিকে বৃত্তীয় পদ্ধতিতে প্রকাশ কর।

খ. প্রমাণ কর যে, $\frac{A–B+1}{A+B–1}=\frac{B}{1–A}$

গ. $\frac{A}{B}+\frac{B}{A}=\frac{4}{\sqrt{3}}$ হলে $\theta$ এর সাধারণ সমাধান নির্ণয় কর, যখন $0<\theta <2\pi$ ।

৮। একটি বাক্সে 20টি নীল, 10টি লাল এবং 12টি কালো বল আছে। দৈবভাবে বাক্স হতে একটি বল তোলা হলো।

ক. একটি ছক্কা একবার নিক্ষেপ করা হলে বিজোড় অথবা মৌলিক সংখ্যা উঠার সম্ভাবনা নির্ণয় কর।

খ. বলটি লাল হওয়ার সম্ভাবনা এবং লাল না হওয়ার সম্ভাবনার পার্থক্য নির্ণয় কর।

গ. যদি প্রতিস্থাপক না করে পরপর তিনটি বল তোলা হয়, তবে প্রথম বল লাল, দ্বিতীয় বল কালো এবং তৃতীয় বল নীল হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় কর।